Тема (2 год): Кути, утворені при перетині двох прямих січною. Ознаки паралельності прямих
Мета: Розширення знань учнів про паралельні прямі. Ознайомлення з кутами, утвореними при перетині двох прямих січною. Формулювання та доведення ознак паралельності прямих. Формування в учнів умінь і навичок використання ознак паралельних прямих для перевірки паралельності двох прямих, що перетнуті третьою, розв’язування задач на знаходження пар рівних кутів при паралельних прямих і січній. Розвиток пізнавальних інтересів та творчої активності учнів, навичок логічного мислення при доведенні.
Обладнання: лінійка, косинець, кольорова крейда; модель перетину двох прямих січною.
Хід уроку.
I. Перевірка знань:
a) № 131 з коментуванням з місця,
b) Звіт консультантів
c) Фронтальне опитування:
Які прямі називаються перпендикулярними? паралельними?
Як записати, що прямі а та b перпендикулярні? паралельні?
Де ви зустрічаєте перпендикулярні (паралельні) прямі?
Сформулювати аксіоми абсолютної геометрії
Чим відрізняються абстрактні геометрії від геометрії Евкліда?
Сформулювати аксіому паралельних
Який вчений довів, що п’ятий постулат Евкліда є аксіомою?
II. Вивчення нового матеріалу:
Пряма HF називається січною відносно прямих AB і CD, якщо вона перетинає їх у двох точках. При цьому утворилося вісім кутів, позначених на малюнку.
? Які з цих кутів можна назвати внутрішніми?
? Які з цих кутів можна назвати зовнішніми?
? Які з цих кутів можна назвати односторонніми?
? Які з цих кутів можна назвати різносторонніми?
? Які з цих кутів можна назвати внутрішніми односторонніми?
? Які з цих кутів можна назвати зовнішніми односторонніми?
? Які з цих кутів можна назвати внутрішніми різносторонніми?
? Які з цих кутів можна назвати зовнішніми різносторонніми?
? Які з цих кутів можна назвати відповідними?
На мал.97 в підручнику внутрішні односторонні кути: 4 і 5; 3 і 6;
внутрішні різносторонні кути: 4 і 6; 3 і 5;
відповідні кути: 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8.
Саме ці кути розглядаються найчастіше.
Мотивація навчальної діяльності:
Ознака паралельності прямих, яку ми сьогодні вивчимо, подана у першій з 13 книг «Начал» Евкліда, тобто відома людству вже понад 23 століття. Практично цю ознаку використовували і використовують у будівельній справі, зокрема при будівництві доріг, колій тощо.
Ž Практична робота з програмою DG__11_ознака паралельності. DGF
df: Ознака (у геометрії) — це теорема, яка стверджує, що при виконанні певних умов можна встановити взаємне розміщення, рівність фігур, належність фігур до певного класу тощо.
1. Спробуйте переміщенням точок А та В добитися паралельності прямої АВ до прямої CD.
2. Порівняйте утворені при цьому відповідні кути; внутрішні різносторонні кути.
3. Знайдіть суми внутрішніх односторонніх кутів.
4. Переміщенням точки Н встановіть, чи збережуться такі ж відношення між кутами.
5. Які умови повинні виконуватися для паралельності прямих?
Доведення ознаки паралельності прямих проводимо по підручнику, с. 35, §9
. Теорема (ознака паралельності прямих). Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
Доведення проведемо методом від супротивного. Нехай при перетині прямих АВ і СВ січною КL утворилися рівні відповідні кути ÐКМВ=ÐМND= (мал. 98).
Припустимо, що дані прямі АВ і СD не паралельні, а перетинаються в деякій точці F (мал. 99). Не змінюючи міри кута КМВ, перенесемо його так, щоб вершина кута — точка М — збіглася з точкою N, промінь МК збігся з променем NМ, а промінь МВ зайняв положення променя NF1 (мал. 100). Тоді ÐМNF1=ÐКМF= . Оскільки промінь NF1 не збігається з променем NF, бо FÏNF1 то ÐМNF1=ÐМNF. Але ж ми встановили, що ÐМNF= і ÐМNF1= .
Прийшли до суперечності. Тому наше припущення про те, що прямі АВ і СD не паралельні,— неправильне. Отже, прямі АВ і СD паралельні, що й треба було довести.
Далі розглянемо наслідки з доведеної теореми.
(учні проводять доведення по мал. 101–103, відповідаючи на запитання вчителя)
Доведення. Нехай при перетині прямих a i b січною с внутрішні різносторонні кути рівні, наприклад Ð1=Ð2 (мал. 101).
Оскільки кути 1 і 3 — вертикальні, то вони рівні: Ð1=Ð3. Отже, Ð2=Ð3. Ці кути — відповідні, тому за ознакою паралельності прямих маємо: а || b.
Доведення. Нехай при перетині прямих а і b січною с суми внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 , наприклад Ð1+Ð2=180° (мал. 102). Кути 2 і 3 — суміжні, тому Ð3+Ð2=180°.
З цих двох рівностей випливає, що Ð1=Ð3. Ці кути є відповідними, а тому прямі а і b — паралельні за ознакою паралельності прямих.
Наслідок 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.
На малюнку 103: а b і b с. Враховуючи наслідок 2, маємо: а || b.
Зауваження: Наслідки 1—3 можна також розглядати як ознаки паралельності прямих. Наслідок 2 безпосередньо слідує з п’ятого постулату Евкліда.
III. Закріплення: 1) № 138 // 139
2) № 132 – 134, 140 — Усно; № 145, 146, 148, 149, 151
IV. Домашнє завдання: 1) §9, № 135 – 137
Творче завдання: Виготовити модель для визначення кутів при двох прямих та січній
2) §9, № 143, 147, 150 // 152
.
V. Підсумок уроку.