Ознаки паралельності прямих на площині 7 клас

Тема (2 год): Кути, утворені при перетині двох прямих січною. Ознаки паралельності прямих

Мета: Розширення знань учнів про паралельні прямі. Ознайомлення з кутами, утвореними при перетині двох прямих січною. Формулювання та доведення ознак паралельності прямих. Формування в учнів умінь і навичок використання ознак паралельних прямих для перевірки паралельності двох прямих, що перетнуті третьою, розв’язування задач на знаходження пар рівних кутів при паралельних прямих і січній. Розвиток пізнавальних інтересів та творчої активності учнів, навичок логічного мислення при доведенні.

Обладнання: лінійка, косинець, кольорова крейда; модель перетину двох прямих січною.

Хід уроку.

       I.      Перевірка знань:

a)      № 131 з коментуванням з місця,

b)      Звіт консультантів

c)      Фронтальне опитування:

Які прямі називаються перпендикулярними? паралельними?

Як записати, що прямі а та b перпендикулярні? паралельні?

Де ви зустрічаєте перпендикулярні (паралельні) прямі?

Сформулювати аксіоми абсолютної геометрії

Чим відрізняються абстрактні геометрії від геометрії Евкліда?

Сформулювати аксіому паралельних

Який вчений довів, що п’ятий постулат Евкліда є аксіомою?

      II.      Вивчення нового матеріалу:

Œ(пояснення проводиться по моделі та малюнку або по  DG­­__11.DGF)

Пряма HF називається січною відносно прямих AB і CD, якщо во­на перетинає їх у двох точках. При цьому утворилося вісім кутів, позначених на малюнку.

?       Які з цих кутів можна назвати внутрішніми?

?       Які з цих кутів можна назвати зовнішніми?

?       Які з цих кутів можна назвати односторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати різносторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати внутрішніми односторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати зовнішніми односторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати внутрішніми різносторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати зовнішніми різносторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати відповідними?

На мал.97 в підручнику внутрішні односторонні кути: 4 і 5; 3 і 6;

внутрішні різносторонні кути: 4 і 6; 3 і 5;

відповідні кути: 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8.

Саме ці кути розглядаються найчастіше.

 Мотивація навчальної діяльності:

Ознака паралельності прямих, яку ми сьогодні вивчимо, подана у першій з 13 книг «Начал» Евкліда, тобто відома людству вже понад 23 століття. Практично цю ознаку використовували і використовують у будівельній справі, зокрема при будівництві доріг, колій тощо.

Ž Практична робота з програмою DG­­__11_ознака паралельності. DGF

df: Ознака (у геометрії) — це теорема, яка стверджує, що при виконанні певних умов можна встановити взаємне розміщення, рівність фігур, належність фігур до певного класу тощо.

1.    Спробуйте переміщенням точок А та В добитися паралельності прямої АВ до прямої CD.

2.    Порівняйте утворені при цьому відповідні кути; внутрішні різносторонні кути.

3.    Знайдіть суми внутрішніх односторонніх кутів.

4.    Переміщенням точки Н встановіть, чи збережуться такі ж відношення між кутами.

5.    Які умови повинні виконуватися для паралельності прямих?

  Доведення ознаки паралельності прямих проводимо по підручнику, с. 35, §9

 .    Теорема (ознака паралельності прямих). Якщо при пе­ретині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.

Доведення проведемо методом від супротивного. Нехай при перетині прямих АВ і СВ січною КL утворилися рівні відповідні кути ÐКМВ=ÐМND=  (мал. 98).

Припустимо, що дані прямі АВ і СD не паралельні, а пере­тинаються в деякій точці F (мал. 99). Не змінюючи міри кута КМВ, перенесемо його так, щоб вершина кута — точка М — збіглася з точкою N, промінь МК збігся з променем NМ, а промінь МВ зайняв положення променя NF₁ (мал. 100). Тоді ÐМNF₁=ÐКМF= . Оскільки промінь NF₁ не збігається з променем NF, бо FÏNF₁ то ÐМNF₁=ÐМNF. Але ж ми встановили, що ÐМNF=  і ÐМNF₁= .

Прийшли до суперечності. Тому наше припущення про те, що прямі АВ і СD не паралельні,— неправильне. Отже, прямі АВ і СD паралельні, що й треба було довести.

Далі розглянемо наслідки з доведеної теореми.

(учні проводять доведення по мал. 101–103, відповідаючи на запитання вчителя)

Наслідок 1. Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.

Доведення. Нехай при перетині прямих a i b січною с внутрішні різносторонні кути рівні, наприклад Ð1=Ð2 (мал. 101).

Оскільки кути 1 і 3 — вертикальні, то вони рівні: Ð1=Ð3. Отже, Ð2=Ð3. Ці кути — відповідні, тому за ознакою пара­лельності прямих маємо: а || b.

Наслідок 2. Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.

Доведення. Нехай при перетині прямих а і b січною с су­ми внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 , наприклад Ð1+Ð2=180° (мал. 102). Кути 2 і 3 — суміжні, тому Ð3+Ð2=180°.

З цих двох рівностей випливає, що Ð1=Ð3. Ці кути є відповідними, а тому прямі а і b — паралельні за ознакою па­ралельності прямих.

Наслідок 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

На малюнку 103: а b і b с. Враховуючи наслідок 2, маємо: а || b.

Зауваження: Наслідки 1—3 можна також розглядати як ознаки паралельності прямих.  Наслідок 2 безпосередньо слідує з п’ятого постулату Евкліда.

 III.      Закріплення: 1) № 138 // 139

2) № 132 – 134, 140 — Усно; № 145, 146, 148, 149, 151

 IV.      Домашнє завдання:  1) §9, № 135 – 137

 Творче завдання: Виготовити модель для визначення кутів при двох прямих та січній

2) §9, № 143, 147, 150 // 152

.

    V.      Підсумок уроку.

Що? Де? Коли?

ОБЛАДНАННЯ:

                      солодка скринька (мандарини та цукерки для кожного гравця);

                      червона  скринька: мотузка з 12 вузликами,  червоний квадрат, шоколад «Міленіум»;

                      дзиґа, конверти із завданнями;

                      пісочний годинник;

                      музична скринька;

                      аркуші паперу, маркери;

                      табло-рахунок

ПРИМІТКА: Математичний турнір «Що?Де?Коли?» проводиться за правилами телевізійної версії гри, до 6 очок. Як окремий «лот» виступає скринька із солодощами для гравців.

Перед оголошенням першого раунду капітан команди вказує лот на гральному столі, на який початково наставляють стрілку дзиги. Після того, як команда набере 3 очка, капітан може поставити музичну паузу при випаданні туру «Бліц».

Команда та вболівальники  визначають кращого гравця, який  нагороджується  статуеткою «Мудра сова».

Після однієї з музичних пауз проводиться гра з глядачами.

Музичну паузу мені  допоміг організувати учень 6 класу (гра на акордеоні та іоніці).

1.     Число три двічі згадується в Біблії у цьому значенні: коли згадується про будівництво легендарного храму царя Соломона і про будівництво Вавилонської вежі. Вчені дійшли до висновку, що Вавилонська вежа розвалилася саме тому, що бралося значення три.  Через хвилину запишіть число, яке могло змінити долю цієї вежі.

2.     Червона скринька.  У скриньці знаходиться прилад, який використовувався при будівництві єгипетських пірамід. За хвилину назвіть прилад і поясніть його призначення.

3.     Якщо від найбільшої сторони цієї фігури забрати склад, який позначає скорочення пропрезидентської партії, то отримаємо наукову думку, яка є припущенням.  Назвіть цю фігуру.

4.     «Щоб вивести з мізерії все, досить одиниці». Цю фразу Готфрід Лейбніц викарбував на медалі, яку випустив на честь однієї із систем числення.  Назвіть цифри, які використовуються у цій системі.

5.     Вперше цей термін застосував давньогрецький філософ Арістотель, хоча це здобувалося людством у процесі багатовікового досвіду і відбиває реальну дійсність. Буквально грецький термін перекладається як «гідність, повага, авторитет».  Назвіть те, що внаслідок свого авторитету – незаперечне.

6.     Червона скринька. Він намалював їх два, і обидва стали відомими на весь світ, але першим був чорний. У скриньці знаходиться той, що став другим. Вкажіть повну назву цього предмету та його автора.

7.     Як провести в трикутнику одну лінію, щоб розділити його на чотири фігури?

8.     Якось Ісаак Ньютон вирішив зварити куряче яйце, не перериваючи роботу. Взяв хронометр, щоб варити яйце протягом трьох хвилин. Однак він був зайнятий математичною задачею, яку намагався розв’язати в той момент. Коли ж він спохватився, то дуже здивувався. Чому?

9.     Його день народження святкують 14 березня. Найчудовіший спосіб його наближеного запису запропонував ще в V ст. китайський математик Цзу Чунчжі.  Для одержання його досить написати по два рази перші три непарні натуральні  числа, записавши одну половину утвореного набору цифр в чисельнику, а іншу – у знаменнику.  Назвіть утворений таким чином дріб та його повне ім’я.

10.                       Червона скринька. У скриньці знаходиться те, чим ви любите смакувати з дитинства. Його марка у Стародавньому Римі означала число 1000.  Назвіть цей продукт та його торгову марку.

11.                       Карл Гаусс ще зі школи виділявся гостротою розуму.

Якось вчитель сказав йому: "Карл, я хочу задати тобі  два запитання. Якщо на перше ти даєш правильну відповідь, то на друге можеш не відповідати. Отже, скільки голок на шкільній ялинці, прибраній до Нового року?"

– 65786 голок, пане вчителю, – негайно відповів Гаусс.

– Добре, але як ти про це дізнався? – запитав учитель.

Що відповів Гаусс?

12.                       В перекладі з грецького вона означає прикладаю або порівнюю. Ви знаєте три її різновиди. Її описує тіло, кинуте в пустоті під кутом до горизонту.  Побудуйте її портрет.

13.                       Який видатний український математик не отримав диплом про закінчення університету, хоча двічі успішно склав іспити?

БЛІЦ.

1)     Як називається одиниця вимірювання довжини, що англійською означає “нога”?

2)    Вона симпатична і тендітна, невеличка на зріст. Всього 2,54 см. Назвіть її ім’я.

3)    На груші 20 слив, а на яблуні вдвічі менше. Скільки всього слив?

Ейлер

Леонард Ейлер

(15/ІV 1707—18/ІХ 1783) —

визначний ма­тематик, фізик, механік і астроном. Народився в Швейцарії в сім'ї пастора в м.Рієн. Його батько в свій час був учнем Якоба І Бернуллі, любив і знав математику і навчав цієї науки сина, хоч і готував його до прийняття духовного сану. Діставши початкову домашню освіту, Ейлер вступив до гімназії в м. Базелі. Завдяки чудовій пам'яті він легко справлявся із схо­ластичною премудрістю тогочасних навчальних дисциплін, а у вільний час слухав в університеті лекції відомого професора математики Йоганна І Бернуллі. Вчений незабаром помітив талант свого учня і почав з ним працювати окремо. Під керівництвом і з до­помогою Бернуллі Ейлер вивчив в оригіналах праці найвідоміших математиків того часу. У 1723 16-річний Ейлер склав екзамени на магістра наук, що надавало йому право викладати гуманітарні науки і філософію. Однак за настійною вимогою батька він почав вивчати богослов'я і староєврейську мову. На щастя молодого Ейлера, батько його швидко зрозумів, що не зможе відірвати сина від математики, і відмовився від своїх попередніх намірів. Леонард зайнявся виключно математикою під керівництвом Й. Бернуллі. Щира і міцна дружба з синами вчителя — Миколою і Даніїлом Бернуллі — мала великий вплив на життя молодого математика.

У 1726 Микола і Даніїл Бернуллі на запрошення російського царя переїхали до Петербурга працювати в щойно відкритій Академії наук. Вони порадили Ейлеру наслідувати їх приклад, якщо з'явиться така нагода. Того самого року Ейлер на запрошення Петербурзької АН виїздить до Росії. У той час йому було 20 років. У Петербурзькій АН Ейлера призначають ад’юнктом математики. З цим науковим закладом надалі були пов'язані його особисте життя і наукова та громадська діяльність. У 1730 Ейлер очолив кафедру фізики, а в 1733, у зв'язку з від'їздом з Петербурга Даніїла Бернуллі, його обрали академіком математики. Йому було тоді 26 років. З самого початку своєї роботи в Академії Ейлер безперервно друкує свої кращі твори в її «Коментарях». У деяких томах вміщено близько десятка статей вченого. Ейлер був надзвичайно працьовитим, його не можна ні з ким порівняти в цьому відношенні. Таке напруження в роботі йому дорого обійшлося: від перевтоми в 1736 він втратив око. Але це не спинило Ейлера: він продовжував працювати з такою самою наполегливістю. Водночас він був людиною з веселою вдачею, хоч і часу для розваг у нього не було; лише музика становила для нього виняток, хоч, судячи з його музичних праць, вона була для нього не відпочинком, а новою формою праці.

У 1740 для Росії настав важкий час регентства Бірона. Становище Академії було хитким, навіть саме її існування брали під сумнів. У цей час слава про Ейлера гриміла по всій Європі, до його праць ставились з винятковою увагою. У 1741 король Фрідріх II запросив його до Берлінської АН, і Ейлер прийняв це запрошення. Проте, виїхавши з Росії, Л. Ейлер не поривав з Петербурзькою АН. Він продовжував друкуватись в її «Записках». Крім того, вчений рецензував праці студентів, які надсилали йому, керував заняттями молодих російських математиків.

У 1766 Л.Ейлер повернувся до Росії і з головою поринув в академічні справи. Кілька років керував математичним навчанням своїх молодих колег, набирав кандидатів на заміщення академічних вакансій, причому дуже сумлінно ставився до цих своїх обов'язків. У 1767 Л.Ейлер важко захворів і внаслідок катаракти остаточно втратив зір. Це було величезним горем для вченого. Адже він був на той час ще цілком працездатним. І Ейлер продовжував наполегливо працювати, диктуючи свої твори. Враховуючи винятковий вплив Л. Ейлера на науку, Паризька АН, в обхід статуту і з дозволу французького уряду, обрала його своїм дев'ятим (повинно бути тільки 8), «приєднаним» членом. Цей високий знак поваги до генія Л.Ейлера був виявлений у 1775, коли йому було 68 років.

Л.Ейлер до кінця життя зберігав ясність і могутність творчої думки. За кілька днів до смерті він розраховував політ аеростата, що було на той час новиною, закінчив майже всі складні обчислення, яких потребували ці розрахунки. У день смерті Ейлер розмовляв з своїми рідними, співробітниками і учнями про нову планету Уран. Під час цієї бесіди і помер. Ейлер мав велику сім'ю. Він одружився в 25 років, і в нього було 13 дітей, з яких 8 померло в ранньому дитинстві. Перед смертю в нього було 26 внуків. І в наш час ще живуть його нащадки, що мають те саме прізвище.

Ейлер був надзвичайно ерудованою людиною. Він добре знав не лише математичну літературу, а й, крім того, був досить обізнаний в медицині, ботаніці, хімії. Ейлер мав дивовижну пам'ять, міг напам'ять прочитати всю Вергілієву «Енеїду», цитувати перший і останній вірші на кожній сторінці того видання, яке він читав ще молодим. Про те, що Ейлер мав чудову пам'ять, свідчить і такий факт. Ейлер давав уроки своїм онукам з алгебри. При вивченні добування коренів потрібно було пропонувати для вправ тільки такі числа, які становили точні степені. Якось під час безсоння він почав добувати такі корені в умі, і за одну ніч обчислив 6 послідовних степенів всіх чисел від 2 до 20. Через кілька днів він усі їх продиктував. Ейлер був дуже скромною і простою людиною, дуже доброзичливо ставився до людей, що завжди викликало до нього любов і повагу. Був прямолінійним і, коли бачив несправедливість, завжди мав мужність говорити про неї в обличчя супротивнику, незважаючи на його посаду.

Ейлеру належить понад 865 досліджень найважчих питань математичної науки. Ейлер збагатив академічні «Коментарі» величезною кількістю мемуарів, які містили глибокі дослідження з диференціального та інтегрального числення, про природу числа, нескінченні ряди, рух небесних тіл і багато іншого. Перший науковий твір Ейлера про розміщення щогл на кораблі (на цю тему Паризька АН оголосила конкурс) дістав схвальний відгук Паризької АН у 1727 і поклав початок знаменитій серії його праць з навігації. У 1736 Ейлер видав двотомний трактат з механіки, в якому було майстерно використано нове в той час диференціальне й інтегральне числення. Цей трактат прославив автора на весь світ. У 1744 Л.Ейлер опублікував тритомну теорію руху планет і комет, в якій дав спосіб визначення їх орбіт за кількома спостереженнями. До цієї теорії Ейлер пізніше повертався не раз, збагачуючи її новими відкриттями. Того ж 1744 був нагороджений премією Паризької АН за створену ним теорію магнетизму. У 1746 видає тритомне зібрання праць, присвячених артилерії, в яких удосконалює формули балістичної кривої, надаючи їм зручного для практичного застосування вигляду. Ейлер розумів філософію як натурфілософію, і тут його допитливість не мала меж. Йому належать дослідження про хвости комет, північне сяйво, зодіакальне світло, швидкість звуку і світла, простір і час, природу сили і т. ін. Л. Ейлер був глибоко переконаний в реальному існуванні світу, у тому, що наукові закони відповідають об'єктивній дійсності, що наука шукає і знаходить об'єктивну істину. Подібно до Г. Галілея, І. Ньютона і М. Ломоносова, Ейлер був універсальним мислителем.

Численні відкриття з математичного аналізу, зроблені Ейлером протягом 30 років і надруковані в різних академічних виданнях, пізніше були зібрані в одному творі — трактаті з математичного аналізу. 1-й том трактату присвячений властивостям раціональних і трансцендентних функцій. У 2-му томі досліджуються криві 2-го, 3-го і 4-го порядків і поверхні 2-го порядку. Тут уперше введені славнозвісні кути Ейлера, які відіграють важливу роль у математиці й механіці. Слідом вийшов трактат з математичного аналізу: 1-й том присвячений диференціальному численню (1755), а решта три томи  присвячені інтегральному численню (1768—1770). Одночасно Ейлер досліджував питання про проходження світла через різні середовища і пов'язаний з цим ефект хроматизму. У 1747 Ейлер запропонував об'єктив, що складався з двох стекол з внутрішньою порожниною, наповненою водою. Це усувало шкідливі забарвлення, які спричинялися до погіршення якості зображення в рефлекторі. Ці дослідження Ейлера привели до визначного відкриття XVIII ст.—створення ахроматичного рефлектора, значення якого в астрономії важко переоцінити. У 1765 вийшла друга велика його праця з механіки, яка сприяла розвиткові науки про рух небесних тіл, астрономії і навігації.

У 1768 вийшли в світ «Елементи алгебри» Л. Ейлера в двох томах німецькою і французькою мовами. У 1769—1777 вийшло три великих томи з діоптрики. У них були вміщені правила найкращого розрахунку рефлекторів, рефракторів і мікроскопів, розв’язано такі питання, як обчислення найбільшої яскравості зображення, найбільшого поля зору, найменшої довжини астрономічних труб, найбільшого збільшення і т. ін. Можна дивуватися майстерності, з якою Л. Ейлер користувався математичним аналізом для розв'язання найактуальніших питань про найбільш вигідні якості оптичних інструментів. Одночасно з твором з діоптрики друкувались 3 томи листів Л. Ейлера до німецької принцеси, 3 томи інтегрального числення, мемуари про обчислення орбіти Комети 1769, обчислення затемнення Сонця, нова теорія Місяця, трактат з навігації та багато інших мемуарів. Ейлер працював над темою, висунутою Паризькою АН, про припливи і відпливи. Ця його праця, як і попередня — про природу і властивості полум'я, була удостоєна премії Паризької АН.

Л.Ейлер уперше ввів поняття про функцію комплексної змінної, відкрив зв’язок між тригонометричними і показниковими функціями. Тригонометрію Ейлер виклав у такому вигляді, в якому ми її знаємо і тепер. Він фактично створив варіаційне числення, поклав початок аналітичному методу в теорії чисел. Тільки теорії чисел Ейлер присвятив понад 140 праць. Він створив сучасну диференціальну геометрію; вивів співвідношення між числом вершин, ребер і граней многогранника — один з основних результатів топології поверхонь. Немає змоги спинитись на всіх відкриттях вченого, бо їх дуже багато. Про значення праць Л. Ейлера можна судити вже за такою суто зовнішньою ознакою: майже в усіх галузях математики і її застосувань увійшло в загальноприйняту термінологію його ім'я — теореми Ейлера, тотожності Ейлера, сталі Ейлера, кути, функції, інтеграли, формули Ейлера.

 Ейлер ввів позначення відомих трансцендентних чисел π і е.