Ознаки паралельності прямих на площині 7 клас

Тема (2 год): Кути, утворені при перетині двох прямих січною. Ознаки паралельності прямих

Мета: Розширення знань учнів про паралельні прямі. Ознайомлення з кутами, утвореними при перетині двох прямих січною. Формулювання та доведення ознак паралельності прямих. Формування в учнів умінь і навичок використання ознак паралельних прямих для перевірки паралельності двох прямих, що перетнуті третьою, розв’язування задач на знаходження пар рівних кутів при паралельних прямих і січній. Розвиток пізнавальних інтересів та творчої активності учнів, навичок логічного мислення при доведенні.

Обладнання: лінійка, косинець, кольорова крейда; модель перетину двох прямих січною.

Хід уроку.

       I.      Перевірка знань:

a)      № 131 з коментуванням з місця,

b)      Звіт консультантів

c)      Фронтальне опитування:

Які прямі називаються перпендикулярними? паралельними?

Як записати, що прямі а та b перпендикулярні? паралельні?

Де ви зустрічаєте перпендикулярні (паралельні) прямі?

Сформулювати аксіоми абсолютної геометрії

Чим відрізняються абстрактні геометрії від геометрії Евкліда?

Сформулювати аксіому паралельних

Який вчений довів, що п’ятий постулат Евкліда є аксіомою?

      II.      Вивчення нового матеріалу:

Œ(пояснення проводиться по моделі та малюнку або по  DG­­__11.DGF)

Пряма HF називається січною відносно прямих AB і CD, якщо во­на перетинає їх у двох точках. При цьому утворилося вісім кутів, позначених на малюнку.

?       Які з цих кутів можна назвати внутрішніми?

?       Які з цих кутів можна назвати зовнішніми?

?       Які з цих кутів можна назвати односторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати різносторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати внутрішніми односторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати зовнішніми односторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати внутрішніми різносторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати зовнішніми різносторонніми?

?       Які з цих кутів можна назвати відповідними?

На мал.97 в підручнику внутрішні односторонні кути: 4 і 5; 3 і 6;

внутрішні різносторонні кути: 4 і 6; 3 і 5;

відповідні кути: 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8.

Саме ці кути розглядаються найчастіше.

 Мотивація навчальної діяльності:

Ознака паралельності прямих, яку ми сьогодні вивчимо, подана у першій з 13 книг «Начал» Евкліда, тобто відома людству вже понад 23 століття. Практично цю ознаку використовували і використовують у будівельній справі, зокрема при будівництві доріг, колій тощо.

Ž Практична робота з програмою DG­­__11_ознака паралельності. DGF

df: Ознака (у геометрії) — це теорема, яка стверджує, що при виконанні певних умов можна встановити взаємне розміщення, рівність фігур, належність фігур до певного класу тощо.

1.    Спробуйте переміщенням точок А та В добитися паралельності прямої АВ до прямої CD.

2.    Порівняйте утворені при цьому відповідні кути; внутрішні різносторонні кути.

3.    Знайдіть суми внутрішніх односторонніх кутів.

4.    Переміщенням точки Н встановіть, чи збережуться такі ж відношення між кутами.

5.    Які умови повинні виконуватися для паралельності прямих?

  Доведення ознаки паралельності прямих проводимо по підручнику, с. 35, §9

 .    Теорема (ознака паралельності прямих). Якщо при пе­ретині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.

Доведення проведемо методом від супротивного. Нехай при перетині прямих АВ і СВ січною КL утворилися рівні відповідні кути ÐКМВ=ÐМND=  (мал. 98).

Припустимо, що дані прямі АВ і СD не паралельні, а пере­тинаються в деякій точці F (мал. 99). Не змінюючи міри кута КМВ, перенесемо його так, щоб вершина кута — точка М — збіглася з точкою N, промінь МК збігся з променем NМ, а промінь МВ зайняв положення променя NF₁ (мал. 100). Тоді ÐМNF₁=ÐКМF= . Оскільки промінь NF₁ не збігається з променем NF, бо FÏNF₁ то ÐМNF₁=ÐМNF. Але ж ми встановили, що ÐМNF=  і ÐМNF₁= .

Прийшли до суперечності. Тому наше припущення про те, що прямі АВ і СD не паралельні,— неправильне. Отже, прямі АВ і СD паралельні, що й треба було довести.

Далі розглянемо наслідки з доведеної теореми.

(учні проводять доведення по мал. 101–103, відповідаючи на запитання вчителя)

Наслідок 1. Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.

Доведення. Нехай при перетині прямих a i b січною с внутрішні різносторонні кути рівні, наприклад Ð1=Ð2 (мал. 101).

Оскільки кути 1 і 3 — вертикальні, то вони рівні: Ð1=Ð3. Отже, Ð2=Ð3. Ці кути — відповідні, тому за ознакою пара­лельності прямих маємо: а || b.

Наслідок 2. Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.

Доведення. Нехай при перетині прямих а і b січною с су­ми внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 , наприклад Ð1+Ð2=180° (мал. 102). Кути 2 і 3 — суміжні, тому Ð3+Ð2=180°.

З цих двох рівностей випливає, що Ð1=Ð3. Ці кути є відповідними, а тому прямі а і b — паралельні за ознакою па­ралельності прямих.

Наслідок 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

На малюнку 103: а b і b с. Враховуючи наслідок 2, маємо: а || b.

Зауваження: Наслідки 1—3 можна також розглядати як ознаки паралельності прямих.  Наслідок 2 безпосередньо слідує з п’ятого постулату Евкліда.

 III.      Закріплення: 1) № 138 // 139

2) № 132 – 134, 140 — Усно; № 145, 146, 148, 149, 151

 IV.      Домашнє завдання:  1) §9, № 135 – 137

 Творче завдання: Виготовити модель для визначення кутів при двох прямих та січній

2) §9, № 143, 147, 150 // 152

.

    V.      Підсумок уроку.